[区块链] 密码学——椭圆曲线密码算法(ECC)

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  今天在学椭圆曲线密码(Elliptic Curve Cryptography,ECC)算法,当事人手里缺少介绍该算法的专业书籍,故在网上查了所以博文与书籍,为什么么让大多数博客写的真的是。。。你懂的。。。真不愧是 ‘天下文章一大抄’ 啊! 雷同不说,关键是介绍的都全部时会很清楚,是我在阅读过程中、产生的所以问提报告 无法处理!同类:只来句‘P+Q=R’,为什么么让为那些等于呢?是根据那些计算出来的呢? 已经 查了哪年,才发现:这是规定的、是定义!瞬间很是无语!

  好了,不吐槽了,为了方便亲戚亲戚其他同学对椭圆曲线密码算法有系统的了解,我分发了几篇较好的博文,并加上了当事人的见解!

  [  时间有限、见解不深,如出先错误,欢迎指正!]


  比特币使用椭圆曲线算法生成公钥和私钥,确定 的是secp256k1曲线。

  椭圆曲线密码学(Elliptic Curve Cryptography) 的缩写。该算法是基于椭圆曲线数学的四种 公钥密码的算法,其安全性依赖于椭圆曲线离散对数问提报告 的困难性。

  在ECC流行起来已经 ,几乎所有的公钥算法全部时会基于RSA、DSA和DH ———— 基于模运算的可选加密系统。RSA及其友类算法在当前仍非常重要,经常 与ECC一起去使用。不过,RSA及其友类算法眼前 的原理很容易解释,因而被广泛理解,或多或少简单的实现也还并能很容易编写出来;但ECC的实现基础对于大多数人来说仍很神秘。

   具体来说,我将触及以下主题:

  1. 数学上的椭圆曲线及相关概念

  2. 密码学中的椭圆曲线

  3. 椭圆曲线上的加密/解密

  4. 椭圆曲线签名与验证签名


一、数学上的椭圆曲线及相关概念

   1.1  从平行线谈起

  平行线,永不相交。不过到了近代你你这个 结论遭到了质疑。平行线会无需在很远很远的地方相交?事实上那么 人见到过。所以“平行线,永不相交”可是假设(亲戚亲戚其他同学想想初中学习的平行公理,是那么 证明的)。既然还并能假设平行线永不相交,也还并能假设平行线在很远很远的地方相交了。即平行线相交于无穷远点P∞(请亲戚亲戚其他同学闭上眼睛,想象一下那个无穷远点P∞,P∞是全部时会很虚幻,之所以与其说数学锻炼人的抽象能力,还不如说是锻炼人的想象力)。给个图帮助理解一下:

  

  直线上出先P∞点,所带来的好处是所有的直线都相交了,且只能一俩个 交点。这就把直线的平行与相交统一了。为与无穷远点相区别把原先平面上的点叫做平常点。

  以下是无穷远点的几次性质。

  ▲直线L上的无穷远点只能有一俩个 。(从定义可直接得出)

  ▲平面上一组相互平行的直线有公共的无穷远点。(从定义可直接得出)

  ▲ 平面上任何相交的两直线L1,L2有不同的无穷远点。(为什么么让L1和L2有公共的无穷远点P ,则L1和L2有一俩个 交点A、P,故假设错误。)

  ▲平面上全体无穷远点构成四根无穷远直线。(当事人想象一下这条直线吧)

  ▲平面上全体无穷远点与全体平常点构成射影平面。

  1.2  射影平面坐标系

  射影平面坐标系是对普通平面直角坐标系(可是亲戚亲戚其他同学初中学到的那个笛卡儿平面直角坐标系)的扩展。亲戚亲戚其他同学知道普通平面直角坐标系那么 为无穷远点设计坐标,只能表示无穷远点。为了表示无穷远点,产生了射影平面坐标系,当然射影平面坐标系同样能很好的表示旧有的平常点(数学也是“向下兼容”的)。

  亲戚亲戚其他同学对普通平面直角坐标系上的点A的坐标(x,y)做如下改造:

  令x=X/Z ,y=Y/Z(Z≠0);则A点还并能表示为(X:Y:Z)。

  变成了有一俩个 参量的坐标点,这就对平面上的点建立了一俩个 新的坐标体系。

  例1:求点(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  解:∵X/Z=1 ,Y/Z=2(Z≠0)∴X=Z,Y=2Z ∴坐标为(Z:2Z:Z),Z≠0。即(1:2:1)(2:4:2)(1.2:2.4:1.2)等形如(Z:2Z:Z),Z≠0的坐标,全部时会(1,2)在新的坐标体系下的坐标。

  亲戚亲戚其他同学也还并能得到直线的方程aX+bY+cZ=0(想想为那些?提示:普通平面直角坐标系下直线一般方程是ax+by+c=0)。新的坐标体系并能表示无穷远点么?那要让亲戚亲戚其他同学先想想无穷远点在哪里。根据上一节的知识,亲戚亲戚其他同学知道无穷远点是两条平行直线的交点。那么 ,咋样求两条直线的交点坐标?这是初中的知识,可是将两条直线对应的方程联立求解。平行直线的方程是:aX+bY+c1Z =0; aX+bY+c2Z =0  (c1≠c2);

  (为那些?提示:还并能从斜率考虑,已经 平行线斜率相同);

  将二方程联立,求解。有c2Z= c1Z= -(aX+bY),∵c1≠c2 ∴Z=0  ∴aX+bY=0;

  所以无穷远点可是你你这个 形式(X:Y:0)表示。注意,平常点Z≠0,无穷远点Z=0,为什么么让无穷远直线对应的方程是Z=0。

  例2:求平行线L1:X+2Y+3Z=0 与L2:X+2Y+Z=0 相交的无穷远点。

  解:已经 L1∥L2 所以有Z=0, X+2Y=0;所以坐标为(-2Y:Y:0),Y≠0。即(-2:1:0)(-4:2:0)(-2.4:1.2:0)等形如(-2Y:Y:0),Y≠0的坐标,都表示你你这个 无穷远点。

  看来你你这个 新的坐标体系并能表示射影平面上所有的点,亲戚亲戚其他同学就把你你这个 并能表示射影平面上所特别的坐标体系叫做射影平面坐标系。

  1.3  椭圆曲线

  上一节,亲戚亲戚其他同学建立了射影平面坐标系,你你这个 节亲戚亲戚其他同学将在你你这个 坐标系下建立椭圆曲线方程。已经 亲戚亲戚其他同学知道,坐标中的曲线是还并能用方程来表示的(比如:单位圆方程是x2+y2=1)。椭圆曲线是曲线,自然椭圆曲线全部时会方程。

  椭圆曲线的定义:

  四根椭圆曲线是在射影平面上满足方程---------------------------[1-1]的所特别的集合,且曲线上的每个点全部时会非奇异(或光滑)的。

  定义详解:

  ▲[1-1] 是Weierstrass方程(维尔斯特拉斯,Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897),是一俩个 齐次方程。

  ▲ 椭圆曲线的形态学 ,并全部时会椭圆的。可是已经 椭圆曲线的描述方程,同类于计算一俩个 椭圆周长的方程,故得名。

  亲戚亲戚其他同学来看看椭圆曲线是那些样的。

  

  ▲ 所谓“非奇异”或“光滑”的,在数学中是指曲线上任意或多或少的偏导数Fx(x,y,z),Fy(x,y,z),Fz(x,y,z)只能一起去为0。已经 你那么 学缺陷等数学,还并能原先理解你你这个 词,即满足方程的任意或多或少都存在切线。

  下面一俩个 方程都全部时会椭圆曲线,尽管亲戚亲戚其他同学是方程[3-1]的形式。

 

 

  已经 亲戚亲戚其他同学在(0:0:1)点处(即原点)那么 切线。

  ▲椭圆曲线上有一俩个 无穷远点O∞(0:1:0),已经 你你这个 点满足方程[1-1]。

  知道了椭圆曲线上的无穷远点。亲戚亲戚其他同学就还并能把椭圆曲线放在普通平面直角坐标系上了。已经 普通平面直角坐标系只比射影平面坐标系少无穷远点。亲戚亲戚其他同学在普通平面直角坐标系上,求出椭圆曲线上所有平常点组成的曲线方程,加上上无穷远点O∞(0:1:0),不就构成椭圆曲线了么?

  亲戚亲戚其他同学设x=X/Z ,y=Y/Z代入方程[1-1]得到:

  y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6 -------------------------[1-2]

  也可是说满足方程[1-2]的光滑曲线加上一俩个 无穷远点O∞,组成了椭圆曲线。为了方便运算,表述,以及理解,今后论述椭圆曲线将主要使用[1-2]的形式。

  本节的最后,亲戚亲戚其他同学谈一下求椭圆曲线或多或少的切线斜率问提报告 。

  由椭圆曲线的定义还并能知道,椭圆曲线是光滑的,所以椭圆曲线上的平常点全部时会切线。而切线最重要的一俩个 参数可是斜率k。

  例3:求椭圆曲线方程上,平常点A(x,y)的切线的斜率k。

  解:令F(x,y)= y2+a1xy+a3y-x3-a2x2-a4x-a6

  求偏导数

  Fx(x,y)= a1y-3x2-2a2x-a4

  Fy(x,y)= 2y+a1x +a3

  则导数为:f'(x)=- Fx(x,y)/ Fy(x,y)=-( a1y-3x2-2a2x-a4)/(2y+a1x +a3)

         = (3x2+2a2x+a4-a1y) /(2y+a1x +a3)

  所以 -------------[1-3]

  看不懂解题过程那么 关系,记住结论[1-3]就还并能了。



  1.4  椭圆曲线上的加法

  上一节,亲戚亲戚其他同学已经 看完了椭圆曲线的图象,但点与点之间好象那么 那些联系。亲戚亲戚其他同学还并能建立一俩个 同类于在实数轴加上法的运算法则呢?天才的数学家找到了你你这个 运算法则

  自从近世纪代数学引入了群、环、域的概念,使得代数运算达到了角度的统一。比如数学家总结了普通加法的主要形态学 ,提出了加群(也叫交换群,或Abel(阿贝尔)群),在加群的眼中。实数的加法和椭圆曲线的上的加法那么 那些区别。这我说可是数学抽象把:)。关于群以及加群的具体概念请参考近世代数方面的数学书。

  运算法则:任意取椭圆曲线上两点P、Q (若P、Q两点重合,则做P点的切线)做直线交于椭圆曲线的另或多或少R’,过R’做y轴的平行线交于R。亲戚亲戚其他同学规定P+Q=R。(如图)

  法则详解:

  ▲这里的+全部时会实数中普通的加法,可是从普通加法中抽象出来的加法,他具备普通加法的或多或少性质,但具体的运算法则显然与普通加法不同。

  ▲根据你你这个 法则,还并能知道椭圆曲线无穷远点O∞与椭圆曲线上或多或少P的连线交于P’,过P’作y轴的平行线交于P,所以有 无穷远点 O∞+ P = P 。原先,无穷远点 O∞的作用与普通加法中零的作用相当(0+2=2),亲戚亲戚其他同学把无穷远点 O∞ 称为 零元。一起去亲戚亲戚其他同学把P’称为P的负元(简称,负P;记作,-P)。(参见下图)

  ▲根据你你这个 法则,还并能得到如下结论 :已经 椭圆曲线上的一俩个 点A、B、C,存在同四根直线上,那么 亲戚亲戚其他同学的和等于零元,即A+B+C= O∞

同经常 线上的一俩个 点之和等于0.

  注:亲戚亲戚其他同学时需的可是一俩个 点同线,与点的次序无关。这意味,已经 P、Q和R同线,那么 P + (Q + R) = Q + (P + R) = R + (P + Q) = • • • = 0. 原先,亲戚亲戚其他同学直观地证明了亲戚亲戚其他同学的“+”运算既满足结合律也满足交换律。  

  ▲k个相同的点P相加,亲戚亲戚其他同学记作kP。如下图:P+P+P = 2P+P = 3P。

  下面,亲戚亲戚其他同学利用P、Q点的坐标(x1,y1),(x2,y2),求出R=P+Q的坐标(x4,y4)。

  例4:求椭圆曲线方y2+a1xy+a3y = x3+a2x2+a4x+a6上,平常点P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x4,y4)的坐标。

  解:(1)先求点-R(x3,y3)

  已经 P,Q,-R三点共线,故设共线方程为y=kx+b,其中

  若P≠Q(P,Q两点不重合) 则

  直线斜率k=(y1-y2)/(x1-x2)

  若P=Q(P,Q两点重合) 则直线为椭圆曲线的切线,故由例3.1可知:

  k=(3x2+2a2x+a4 -a1y) /(2y+a1x+a3)

  为什么么让P,Q,-R三点的坐标值可是方程组:

  y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6    -----------------[1] 

  y=(kx+b)                     -----------------[2]

的解。

  将[2],代入[1] 有

  (kx+b)2+a1x(kx+b)+a3(kx+b) =x3+a2x2+a4x+a6    --------[3]

  对[3]化为一般方程,根据三次方程根与系数关系(当三次项系数为1时;-x1x2x3 等于常数项系数, x1x2+x2x3+x3x1等于一次项系数,-(x1+x2+x3)等于二次项系数。)

  所以-(x1+x2+x3)=a2-ka1-k2

  x3=k2+ka1+a2+x1+x2;---------------------求出点-R的横坐标

  已经 k=(y1-y3)/(x1-x3) 故

  y3=y1-k(x1-x3);-------------------------------求出点-R的纵坐标

  (2)利用-R求R

  显然有 x4=x3= k2+ka1+a2+x1+x2; ------------求出点R的横坐标

  而y3 y4 为 x=x4时 方程y2+a1xy+a3y=x3+a2x2+a4x+a6的解

  化为一般方程y2+(a1x+a3)y-(x3+a2x2+a4x+a6)=0 , 根据二次方程根与系数关系得:

  -(a1x+a3)=y3+y4

  故y4=-y3-(a1x+a3)=k(x1-x4)-y1-(a1x4+a3); ---------------求出点R的纵坐标

  即:

  x4=k2+ka1+a2+x1+x2;

  y4=k(x1-x4)-y1-a1x4-a3;

  本节的最后,提醒亲戚亲戚其他同学注意或多或少,已经 提供的图像已经 会给亲戚亲戚其他同学产生四种 错觉,即椭圆曲线是关于x轴对称的。事实上,椭圆曲线暂且一定关于x轴对称。如下图的y2-xy=x3+1


二、密码学中的椭圆曲线 

  亲戚亲戚其他同学现在基本上对椭圆曲线有了初步的认识,这是值得高兴的。

  但请亲戚亲戚其他同学注意,前面学到的椭圆曲线是连续的,并不适合用于加密所以,亲戚亲戚其他同学时需把椭圆曲线变成离散的点, 要把椭圆曲线定义在有限域上

  让亲戚亲戚其他同学想一想,为那些椭圆曲线为那些连续?是已经 椭圆曲线上点的坐标,是实数的(也可是说前面讲到的椭圆曲线是定义在实数域上的),实数是连续的,意味了曲线的连续。为什么么让,亲戚亲戚其他同学要把椭圆曲线定义在有限域上(顾名思义,有限域是四种 只能由有限个元素组成的域)。

  域的概念是从亲戚亲戚其他同学的有理数,实数的运算中抽象出来的,严格的定义请参考近世代数方面的数。简单的说,域中的元素同有理数一样,有当事人得加法、乘法、除法、单位元(1),零元(0),并满足交换率、分配率。

  下面,亲戚亲戚其他同学给出一俩个 有限域Fp,你你这个 域只能有限个元素。

   

  Fp中只能p(p为素数)个元素0,1,2 …… p-2,p-1;

  Fp 的加法(a+b)法则是 a+b≡c (mod p);即,(a+b)÷p的余数 和c÷p的余数相同。

  Fp 的乘法(a×b)法则是  a×b≡c (mod p);

  Fp 的除法(a÷b)法则是  a/b≡c (mod p);即 a×b-1≡c  (mod p);(b-1也是一俩个 0到p-1之间的整数,但满足b×b-1≡1 (mod p) )。

  Fp 的单位元是1,零元是 0。

  一起去,并全部时会所有的椭圆曲线都适合加密。y2=x3+ax+b是一类还并能用来加密的椭圆曲线,也是最为简单的一类。下面亲戚亲戚其他同学就把y2=x3+ax+b(mod p) 这条曲线定义在Fp上:

  确定 一俩个 满足下列条件的小于p(p为素数)的非负整数a、b

  4a3+27b2≠0 (mod p)

  则满足下列方程的所特别(x,y),加上上 无穷远点O∞ ,构成四根椭圆曲线。

  y2=x3+ax+b  (mod p)

  其中x,y∈[0,p-1]的整数,并将这条椭圆曲线记为Ep(a,b)。

  亲戚亲戚其他同学看一下y2=x3+x+1  (mod 23)的图像

  是全部时会之所以不可思议?椭圆曲线,为什么变成了这般模样,成了一俩个 一俩个 离散的点?

  椭圆曲线在不同的数域中会呈现出不同的样子,但其本质仍是四根椭圆曲线。举一俩个 不太恰当的例子,好比是水,在常温下,是汽体;到了零下,水就变成冰,成了汽体;而温度上升到一百度,水又变成了水蒸气。但其本质仍是H2O。

  Fp上的椭圆曲线同样有加法,但已经 只能给以几何意义的解释。不过,加法法则和实数域上的差那么来越多,请读者自行对比。

  1. 无穷远点 O∞是零元,有O∞+ O∞= O∞,O∞+P=P

  2. P(x,y)的负元是 (x,-y),有P+(-P)= O∞

  3. P(x1,y1),Q(x2,y2)的和R(x3,y3) 有如下关系:

  x3≡k2-x1-x2(mod p) 

  y3≡k(x1-x3)-y1(mod p)

  其中若P=Q 则 k=(3x2+a)/2y1  若P≠Q,则k=(y2-y1)/(x2-x1)

  例5: 已知椭圆曲线已知E23(1,1)上两点P(3,10),Q(9,7),求(1)-P,(2)P+Q,(3) 2P

          

        

解:

      

  最后,亲戚亲戚其他同学讲一下椭圆曲线上点的阶。

  已经 椭圆曲线上或多或少P,存在最小的正整数n,使得数乘nP=O∞,则将n称为P的 阶,若n不存在,亲戚亲戚其他同学说P是无限阶的。

  事实上,在有限域上定义的椭圆曲线上所有的点的阶n全部时会存在的。

       

  计算可得27P=-P=(3,13)

  所以28P=O ∞ P的阶为28

  那些点做成了一俩个 循环阿贝尔群,其中生成元为P,阶数为29。显然点的分布与顺序全部时会杂乱无章


三、椭圆曲线上的加密/解密

  公开密钥算法经常 要基于一俩个 数学上的问提报告 。比如RSA 最好的依据的是:给定一俩个 素数p、q 很容易相乘得到n,而对n进行因式分解却相对困难。那椭圆曲线上有那些问提报告 呢?

  考虑如下等式:

  K=kG  [其中 K,G为Ep(a,b)上的点,k为小于n(n是点G的阶)的整数]

  先要发现,给定k和G,根据加法法则,计算K很容易;但给定K和G,求k就相对困难了。

  这可是椭圆曲线加密算法采用的问提报告 。

  亲戚亲戚其他同学把点G称为基点(base point),

  k(k<n,n为基点g的阶)称为私有密钥(privte key),

  k称为公开密钥(public="" key)。<="" p="">

  现在亲戚亲戚其他同学描述一俩个 利用椭圆曲线进行加密通信的过程:

  1、用户A选定四根椭圆曲线Ep(a,b),并取椭圆曲线上或多或少,作为基点G。

  2、用户A确定 一俩个 私有密钥k,并生成公开密钥K=kG。

  3、用户A将Ep(a,b)和点K,G传给用户B。

  4、用户B接到信息后 ,将待传输的明文编码到Ep(a,b)上或多或少M(编码最好的依据所以,这里不作讨论),并产生一俩个 随机整数r(r<n)。

  5、用户B计算点C1=M+rK;C2=rG。

  6、用户B将C1、C2传给用户A。

  7、用户A接到信息后,计算C1-kC2,结果可是点M。

  已经 C1-kC2=M+rK-k(rG)=M+rK-r(kG)=M再对点M进行解码就还并能得到明文。

  在你你这个 加密通信中,已经 有一俩个 偷窥者H ,他只能看完Ep(a,b)、K、G、C1、C2 而通过K、G 求k 或通过C2、G求r 全部时会相对困难的。为什么么让,H无法得到A、B间传送的明文信息。

总结:   

设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。   公钥加密:   确定 随机数r,将消息M生成密文C,该密文是一俩个 点对,即:   C = {rG, M+rK},其中K为公钥   私钥解密:   M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M   其中k、K分别为私钥、公钥。

       ECC技术要求:

  密码学中,描述四根Fp上的椭圆曲线,常用到俩个参量:

       T=(p,a,b,G,n,h)。

  (p 、a 、b 用来确定 四根椭圆曲线,G为基点,n为点G的阶,h 是椭圆曲线上所特别的个数m与n相除的整数每项)

  这几次参量取值的确定 ,直接影响了加密的安全性。参量值一般要求满足以下几次条件:

  1、p 当然越大越安全,但越大,计算带宽会快一点 ,3000位左右还并能满足一般安全要求;

  2、p≠n×h;

  3、pt≠1 (mod n),1≤t<20;

  4、4a3+27b2≠0 (mod p);

  5、n 为素数;

  6、h≤4。


四、椭圆曲线签名与验证签名

   椭圆曲线签名算法,即ECDSA。

  设私钥、公钥分别为k、K,即K = kG,其中G为G点。

 

  私钥签名:

  1、确定 随机数r,计算点rG(x, y)。

  2、根据随机数r、消息M的哈希h、私钥k,计算s = (h + kx)/r。

  3、将消息M、和签名{rG, s}发给接收方。

 

  公钥验证签名:

  1、接收方收到消息M、以及签名{rG=(x,y), s}。

  2、根据消息求哈希h。

  3、使用发送方公钥K计算:hG/s + xK/s,并与rG比较,如相等即验签成功。

 

  原理如下:

  hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s

  = r(h+xk)G / (h+kx) = rG


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REFERENCE

1.巴比特论坛 作者:ZMWorm http://8btc.com/article-138-1.html

2.张禾瑞,《近世代数基础》,高等教育出版社,1978

3.闵嗣鹤 严士健,《初等数论》,高等教育出版社,1982

4. ECC详解 https://www.cnblogs.com/Kalafinaian/p/739230005.html